Question

如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥BC交AB延长线于点E，垂足为点F．

（1）证明：DE是⊙O的切线；

（2）若BE=4，∠E=30°，求由、线段BE和线段DE所围成图形（阴影部分）的面积，

（3）若⊙O的半径r=5，sinA=，求线段EF的长．

Answer

（1）见解析 （2）8（3）

【解析】分析：（1）连接BD、OD，由AB=BC及∠ADB=90°知AD=CD，根据AO=OB知OD是△ABC的中位线，据此知OD∥BC，结合DE⊥BC即可得证；

（2）设⊙O的半径为x，则OB=OD=x，在Rt△ODE中由sinE=求得x的值，再根据S阴影=S△ODE-S扇形ODB计算可得答案．

（3）先证Rt△DFB∽Rt△DCB得，据此求得BF的长，再证△EFB∽△EDO得，据此求得EB的长，继而由勾股定理可得答案．

详【解析】
（1）如图，连接BD、OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA=90°，

∵BA=BC，

∴AD=CD，

又∵AO=OB，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，则OB=OD=x，

在Rt△ODE中，OE=4+x，∠E=30°，

∴，

解得：x=4，

∴DE=4，S△ODE=×4×4=8，

S扇形ODB=，

则S阴影=S△ODE-S扇形ODB=8-；

（3）在Rt△ABD中，BD=ABsinA=10×=2，

∵DE⊥BC，

∴Rt△DFB∽Rt△DCB，

∴，即，

∴BF=2，

∵OD∥BC，

∴△EFB∽△EDO，

∴，即，

∴EB=，

∴EF=．