Question

已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F．

（1）求证：△ADE≌△FCE；

（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）4．

【解析】试题分析：（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；

（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD=AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD=∠BDC=30°，进而可得出结论．

试题解析：（1）证明：∵点E是CD的中点，∴DE=CE．

∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC．

在△ADE与△FCE中，∵∠BAF=∠AFC，∠AED=∠FEC，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）【解析】
由（1）得，CD=2DE，∵DE=2，∴CD=4．

∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，∴AB=2CD=8，AD=CD=AB．

∵AB∥CF，∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°，∴BC=AB=×8=4．