Question

如图，平行四边形OABC在平面直角坐标系中，A（4，0）、C（1，3）．

（1）求B点坐标及平行四边形OABC的面积

（2）P是线段AB上任一点，试确定∠PCB、∠POA、∠CPO之间的关系并证明。

（3）在y轴上求一点M，使S =S，确定M点的坐标。

Answer

（1）B点坐标为(5,3)，12；（2）∠OPC=∠POA+∠PCB，理由见解析；（3）M的坐标（0,6）或（0，-6）

【解析】分析：（1）延长BC交y轴于点D，根据平行四边形的对边平行且相等求出OA、OD的长即可求得B的坐标和平行四边形的面积；

（2）过点P作PE∥BC，交OC于点E，根据两直线平行，内错角相等的性质证明即可；

（3）设出M点的坐标（0，a），然后根据面积关系S =S求出a即可.

详【解析】
(1)如图1，延长BC交y轴于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，

∴BC=OA=4,且C点坐标为(1,3)，

∴CD=1，OD=3，

∴B点坐标为(5,3)；

所以四边形OABC 的面积=OA·OD=4×3=12

(2) ∠OPC=∠POA+∠PCB

过点P作PE∥BC，交OC于点E

所以∠CPE=∠PCB

因为四边形OABC 为平行四边形

所以OA∥BC

所以∠OPE=∠POA

又因为∠OPC=∠CPE+∠OPE

所以∠OPC=∠POA+∠PCB

(3)因为M在y轴上

所以设M点坐标（0，a）

==

又因为 四边形OABC 的面积=OA·OD=4×3=12

所以=12

所以a=6或-6

所以M的坐标（0,6）或（0，-6）