Question

如图，已知抛物线与x轴正半轴交于点A，对称轴l交x轴于点H，点P是抛物线对称轴l上一点，且在x轴上方，直线AP交抛物线于点B（在对称轴左侧），过点B作x轴的平行线，交抛物线于另一点C，

（1）若点B的横坐标为1，求BC的长．

（2）连接PC，AC，

①若，求直线AB的函数表达式．

②记点P关于AC的对称点为P'，若P'恰好落在直线BC上，则PC+AP的值为_____．(直接写出答案)

Answer

（1）6；（2）①；②8

【解析】（1）求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性，可知点C、点B到对称轴的距离相等，从而求得BC长即可；

（2）①连接OP，易知C，P，O共线，A（8，0），根据 ，可得，继而可得OP=2CP，根据BC∥AH ，可得，从而可得B（2，6），利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；

②如图，根据抛物线的对称性可知：PA+PC=PA+PB=AB=OC，由题意可得∠BCP=2∠CPP′，∠PBC=2∠CPP′，从而可得∠APP′=3∠CPP′，再由BC//OA以及PP′⊥AC，可以得到∠ACP=∠OAC，从而得OC=OA=8，即可得到PA+PC=8.

（1）∵对称轴， ∴ ；

（2）①连接OP，易知C，P，O共线，

在中，令y=0，则有=0，解得x=0或x=8，

∴A（8，0），

∵ ，∴， ∴OP=2CP，

又 ∵BC∥AH ，∴，

4÷2=2，4-2=2，

当x=2时，=6，∴B（2，6），

设直线AB的函数表达式为，代入（2，6），（8，0），

得 ，∴，∴ ；

②如图，根据抛物线的对称性可知：PA+PC=PA+PB=AB=OC，

由题意可知CP=CP′，∴∠CPP′=∠CP′P，∴∠BCP=∠CPP′+∠CP′P=2∠CPP′，

∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB=2∠CPP′，

∴∠APP′=∠PBC+∠CP′P=3∠CPP′，

∵BC//OA，

∴∠AOC=∠BCP=2∠CPP′，∠OAB=∠PCB=2∠CPP′，

∵PP′⊥AC，

∴∠ACP=90°-∠CPP′，∠PAC=90°-∠APP′=90°-3∠CPP′，

∴∠OAC=∠OAB+∠PAC=2∠CPP′+90°-3∠CPP′=90°-∠CPP′，

∴∠ACP=∠OAC，

∴OC=OA=8，

∴PA+PC=8，

故答案为：8.