Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC，D是边AC上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC的另一交点为E（点E在线段CD上），过点B作BF∥AC交⊙O于点F，连接BE，BF，DF，

   （1）求证：四边形BEDF是矩形．

（2）若BC=5，，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）由直径所对的圆周角是直角可得∠DEB＝∠DFB＝90°，再根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠FBE+∠DEB＝180°，从而得∠FBE＝90°， 根据有三个角是直角的四边形是矩形即可证得；

（2）如图，设⊙O与边BC的另一交点为G，连接DG，则有DG⊥BC，根据相似三角形的对应边成比例，可得DG=2CG，设BG=2a，由，可得DG=6a，从而得CG=3a，继而根据勾股定理可求得CD的长，根据 ，求得 ，再根据，求得DE的长，由矩形的对边相等即可求得的长.

（1）∵BD是直径，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，

又∵BF∥AC，∴∠FBE+∠DEB＝180°，

∴∠FBE＝90°， ∴四边形BEDF是矩形；

（2）如图，设⊙O与边BC的另一交点为G，连接DG，则有DG⊥BC，

∴DG//AB，

∴△CDG∽CAB，

∴DG：CG=AB：BC，

∵AB=2BC，

∴DG=2CG，

设BG=2a，∵=，

∴DG=6a，∴CG=3a，∴CD=a，

∵ ， ∴ ，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=10，∴AC==5，

∵BE⊥AC，∴BC2=CE•CA，即52=5•CE，

∴CE=，

∴，

∵四边形BEDF是矩形，∴.