Question

如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10.8米，灯杆AB的长为2.4米．灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，灯亮时其投射角满足，灯罩上装有自动控制旋钮用以调整灯罩方位．初始状态下，灯的投射区域为DE，D处测得路灯A的仰角为，且．若调整灯罩旋钮使点D沿DE方向移动2米，则点E移动的距离为______米．

Answer

【解析】如图1，当AD⊥CE时，先计算出DE的长度，如图2，过点A作AM⊥CE于M，过点B作BN⊥AM于点N，根据已知计算出AM、DM=2的长度，从而求出AD的长度，过点D作DF⊥AE于F，由cosα==，求得AF=，从而根据勾股定理求得DF=，在Rt△AME和Rt△FED中，由正切可得=，继而根据根据勾股定理求得ME的长度，结合图1与图2的相关数据即可得.

如图1，当AD⊥CE时，

在Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=12，cosα==，

∴AE=20，

∴DE==16，

如图2，过点A作AM⊥CE于M，过点B作BN⊥AM于点N，

则四边形BCMN是矩形，

∴MN=BC=10.8，

∵∠ABC=120°，∠CBN=90°，∴∠ABN=30°，∴AN=AB=×2.4=1.2，

∴AM=AN+MN=12，

∵tanβ==6，

∴DM=2，

∴AD==2，

过点D作DF⊥AE于F，

∵cosα==，

∴AF=，

∴DF==，

在Rt△AME中，∠AME=90°，tanE=，

在Rt△FED中，∠CFE=90°，tanE=，

∴=，

∴EF=ME，

∴AE=AF+EF=+ME，

在Rt△AME中，AM2+ME2=AE2，

∴122+ME2=（+ME）2，

即（11ME-126）（7ME-162）=0，

∴ME=或ME=（舍去），

当点D沿DE方向移动2米时，由图1可知此时DE=16，

因此点E移动的距离为：16-=，

故答案为：.