Question

（2016吉林省）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：经过点O，A，B三点．

（1）当m=2时，a=      ，当m=3时，a=      ；

（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为          ；

（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．

Answer

（1），；（2）；（3）；（4）：1．

【解析】试题分析：（1）由△AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可；

（2）同（1）的方法得出结论

（3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；

（4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可．

试题解析：【解析】
（1）如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，∴B（2m，0）．∵以OB为边向上作等边三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m）．∵抛物线l：经过点O，A，B三点，∴，∴．

当m=2时，a=，当m=3时，a=．故答案为：，；

（2）．理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，∴B（2m，0）．∵以OB为边向上作等边三角形AOB，∴AM=m，OM=m，∴A（m，m）．∵抛物线l：经过点O，A，B三点，∴，∴，∴；

（3）如图2，∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d）．∵P，Q，A，O在抛物线l：上，∴，∴，①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④，①﹣③化简得：﹣2ae﹣an﹣b=1⑤，④+⑤化简得：an=﹣1，∴．故答案为：．

（4）∵OB的长度为2m，AM=m，∴S△AOB=OB×AM=×2m×m=，由（3）有，AN=n．

∵PQ的长度为2n，∴S△APQ=PQ×AN=×2n×n=，由（2）（3）有，，，∴，∴m=n，∴===，∴△AOB与△APQ的面积比为：1．