Question

如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点F，连接AF,使∠ABC=2∠CAF．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．

Answer

（1）见解析 （2）

【解析】分析：（1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，证出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出结论；
（2）连接AE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，设CE长为x，则EB长为3x， 由勾股定理可得 在Rt中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

详【解析】
（1）证明：连接BD，如图1所示：

∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°，

∵BA=BC，

∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD,

∵∠ABC=2∠CAF，∴∠ABD=∠CAF，

∵∠ABD+∠CAB=90°，

∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，

∴AF是⊙O的切线；

（2）连接AE，如图2所示：

∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，

∵ 设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，

在Rt△AEB中由勾股定理可得 在Rt△AEC中，

由勾股定理得：，解得：

∵

∴

即CE长为