Question

直线AB分别交x轴于A、B、C在y轴正半轴上, 作∠OCD＝∠OAB, CD交OA于D.

(1) 如图1，请说明CD与AB的位置关系, 并予以证明;

(2) 如图2，∠ADC的平分线DE与∠OAB的平分线交于F, 求∠F;

(3) 如图3，M是线段AD上任意一点(不同于A、D), 作MN⊥x轴交AF于N, 作∠ADE与∠ANM的平分线交于P点, 在第（2）问的条件下, 给出下列结论: ①∠P－∠MAN的值不变; ②∠P的值不变, 可以证明, 其中有且只有一个结论是正确的, 请你作出正确的选择并求值.

  图1                                 图2                              图3

Answer

（1）CD⊥AB（2）45°（3）∠P值不变

【解析】（1）利用等量代换得出∠OCD+∠OBA=90°，说明CD⊥AB即可；

（2）利用角平分线的性质，邻补角的意义以及三角形的内角和定理在△AFD中解决问题即可；

（3）利用角平分线的性质，三角形的内角和，四边形的内角和解决问题即可．

（1）CD⊥AB，理由如下：

延长CD交AB于点E，

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OCD=∠OAB，

∴∠OBA+∠OCD=90°，

∴∠CEB=180°-（∠OBA+∠OCD）=90°，

∴CD⊥AB；

（2）如图，

∵DE平分∠ADC，AF平分∠OAB，

∴∠ADE=∠ADC=（∠COD+∠OCD），∠FAD=∠BAO，

∴∠FDA=180°- （∠COD+∠OCD）=135°- ∠OCD，

∵∠OCD=∠OAB，

∴在△ADF中，

∠F=180°-（∠FDA+∠DAF）

=180°-（135°- ∠OCD+∠BAO）

=180°-135°

=45°；

（3）∠P值不变．

∵∠ADF+∠MNF=360-（∠F+90°）=225°，

∴∠PDA+∠PNM=（∠EDA+∠ANM）=（180°-∠ADF+180°-∠MNF）=67.5°，

∠P=360°-∠F-∠ADF-∠MNF-∠PDA-∠PNM=22.5°，

∴∠P值不变．