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如图,在△ABC,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F...

如图,在ABC,AB=AC,以AB为直径的O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且CAB=2CBF

(1)试判断直线BF与O的位置关系,并说明理由;

(2)若AB=6,BF=8,求tanCBF

 

(1)BF为⊙O的切线;理由详见解析;(2). 【解析】 试题分析:(1)连接AE.通过AB⊥BF,点B在⊙O上可以推知BF为⊙O的切线; (2)作辅助线CG(过点C作CG⊥BF于点G)构建平行线AB∥CG.由“平行线截线段成比例”知==,从而求得FG的值;然后根据图形中相关线段间的和差关系求得直角三角形CBG的两直角边BG、CG的长度;最后由锐角三角函数的定义来求tan∠CBF的值. 试题解析:(1)BF为⊙O的切线.理由如下: 连接AE. ∵AB为⊙O的直径, ∴∠AEB=90°(直径所对的圆周角是直角), ∴∠BAE+∠ABE=90°(直角三角形的两个锐角互余); 又∵AB=AC,AE⊥BC, ∴AE平分∠BAC,即∠BAE=∠CAE; ∵∠CAB=2∠CBF, ∴∠BAE=∠CBF, ∴∠BAE+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°,即AB⊥BF, ∵OB是半径, ∴BF为⊙O的切线; (2)过点C作CG⊥BF于点G. 在Rt△ABF中,AB=6,BF=8, ∴AF=10(勾股定理); 又∵AC=AB=6 ∴CF=4; ∵CG⊥BF,AB⊥BF, ∴CG∥AB, ∴==,(平行线截线段成比例), ∴FG=, 由勾股定理得:CG==, ∴BG=BF﹣FG=8﹣=, 在Rt△BCG中,tan∠CBF==.
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