Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．

求证：四边形BMDN是菱形；

若，，求菱形BMDN的面积和对角线MN的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】分析：

（1）先由已知条件证四边形BMDN是平行四边形，结合MN垂直平分BD即可得到平行四边形BMDN是菱形；

（2）设BM=x，由四边形BMDN是菱形可得DM=BM=x，由此可得AM=AD-DM=8-x，这样在Rt△ABM中由勾股定理可求得x=5，这样由S菱形BMDN=MD·AB即可求出其面积了；在Rt△ABD中由已知易得BD=，结合S菱形BMDN=MD·AB=BD·MN即可求得MN的长.

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴，，

∴，，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∵，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）∵四边形BMDN是菱形，

∴，

设MD长为x，则，

在中，

即，

解得：，

即．

菱形BMDN的面积，

∵，

又∵菱形BMDN的面积，

∴．