Question

已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且．

求抛物线的解析式；

若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，如图；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．

在的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=．(2)时，s有最小值，且最小值为1．(3)或.

【解析】分析：

（1）由题意易得点A、B、C的坐标分别为（2，0），（4，0）和（0，-2），再用待定系数法求得抛物线的解析式即可；

（2）由（1）中所得点A、B、C的坐标可得OB=4，OC=2，由此可得tan∠OCB=2，结合CE=t，可得DE=2t，结合OP=OB-PB=4-2t即可用含t的代数式表达出S，结合二次函数的性质即可求得t为何值时，S最小及最小值是多少了；

（3）由OB=5，OC=2易得BC=，由EC=t，DE=2t易得CD=，从而可得BD=，由∠ABC=∠PBD可知当t的值满足 或 时，两三角形相似进行计算讨论即可求得对应的t的值.

详【解析】

由直线：知：、；

∵，

∴，即．

设抛物线的解析式为：，代入，得：

，解得

∴抛物线的解析式：．

在中，，，则；

∵，

∴；

而；

∴，

∴当时，s有最小值，且最小值为1．

在中，，，则；

在中，，，则；

∴；

以P、B、D为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：

，解得；

，解得；

综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似．