Question

如图，点A是反比例函数图象第一象限上一点，过点A作轴于B点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连结CD交AB于点记的面积为，的面积为，连接BC，则是______三角形，若的值最大为1，则k的值为______．

Answer

等腰直角；   

【解析】分析：

（1）如下图，连接O′C，过点C作CH⊥x轴于点H，由O′和两坐标轴相切可知O′和反比例函数的图象都关于直线y=x对称，若设点A的坐标为（m，2m），则点C的坐标为（2m，m），结合题意易证四边形BHCO′是正方形，从而可得∠ABC=45°，由AB为O′直径可得∠ACB=90°，由此可得△ABC是等腰直角三角形；

（2）由下图，连接DO′，并延长交BC于点F，由已知易得S1-S2=S△BCD-S△ABC， S△ABC是定值，BC是定值，从而可得当DF最长，即当DF⊥BC时，S1-S2的值最大，用含m的代数式表达出S△BCD和S△ABC的面积，结合S1-S2的最大值为1列出方程，解方程求得m的值即可得到点A的坐标，从而可得k的值.

详解：

（1）如下图，连接O′C，过点C作CH⊥x轴于点H，由O′和两坐标轴相切可知O′和反比例函数的图象都关于直线y=x对称，

∴若设点A的坐标为（m，2m），则点C的坐标为（2m，m），

∴BO′=CH=m，BO′∥CH，

∴四边形BHCO′是平行四边形，

∵BH=CH，∠BHC=90°，

∴四边形BHCO′是正方形．

∴∠ABC=45°，

∵AB为O′直径，

∴∠ACB=90°，

∴△ACB是等腰直角三角形；

（2）由下图，连接DO′，并延长交BC于点F，

∵由图可得S1-S2=S△BCD-S△ABC， S△ABC是定值，BC是定值，

∴当DF最长，即当DF⊥BC时，S1-S2的值最大，

∵△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=2m，且DF⊥BC，

∴BC=AC=，DF=DO′+O′F=，

又∵S1-S2=S△BCD-S△ABC=1，

∴，

化简得：，

∵点A（m，2m）在反比例函数函数的图象上，

∴k=2m2=.

故答案为：（1）等腰直角；（2）.