Question

如图，在矩形ABCD中，，E为CD边的中点，将绕点E顺时针旋转，点D的对应点为C，点A的对应点为F，过点E作交BC于点M，连接AM、BD交于点N，现有下列结论：；；；点N为的外心．其中正确的个数为　　

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

B

【解析】分析：

（1）由旋转的性质易得AD=FC，AE=FE，结合ME⊥AF可得AM=MF，结合MF=MC+CF即可得到结论①成立；（2）假设AM=DE+BM成立，则结合（1）可推得CE=2MC，但由题中条件不能得到CE=2MC一定成立，故结论②不成立；（3）由已知条件证△ADE∽△ECM，结合DE=CE即可证得结论③成立；（4）过点M作MF⊥AD于点F，连接BF交AM于点Q，则易证点Q是AM的中点，由此可得点N不是AM的中点，从而可得结论④不成立；综合（1）--（4）即可得到所求答案.

详解：

（1）∵△CEF是由△DEA绕点E旋转180°得到的，

∴AD=FC，AE=FE，DE=CE，

又∵ME⊥AF，

∴AM=MF，

∵MF=MC+CF，

∴AM=AD+MC，即结论①成立；

（2）假设AM=DE+BM成立，

∵由（1）可知AM=AD+MC，

∴AD+MC=DE+BM,

又∵AD=BC=BM+MC，DE=CE，

∴BM+MC+MC=BM+CE，

∴2MC=CE，

∵由题中条件不能确定CE=2MC成立，

∴AM=DE+BM不一定成立，故结论②不成立；

（3）∵ME⊥AF，四边形ABCD是矩形，

∴∠ADE=∠MEF=∠ECM=90°，

∴∠MEC+∠EMC=90°，∠EMC+∠F=90°，

∴∠MEC=∠F，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，

∴∠DAE=∠MEC，

∴△ADE∽△ECM，

∴AD：EC=DE：CM，

∴EC·DE=AD·CM，

又∵EC=DE，

∴DE2=AD·CM，故结论③成立；

（4）如下图，过点M作MF⊥AD于点F，连接BF交AM于点Q，

∴∠ABM=∠BAF=∠AFM=90°，

∴四边形ABMF是矩形，

∴点Q是AM的中点，

∴点Q是△ABM的外心，

∵点Q与点N不重合，

∴点N不是△ABM的外心，故结论④不成立.

综上所述，上述4个结论中，成立的是①③，共2个.

故选B.