Question

如图，已知抛物线经过A（-1,0）、B（4,5）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的横坐标.

Answer

（1）数量关系（2） ；（3），，，.

【解析】试题分析：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可；

（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，根据勾股定理可求出AB的长，进而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO=．

（3）设点M的坐标为（x，x2-2x-3），点N的坐标为（x，x+1），在分两种情况：当点M在点N的上方时和当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形讨论求出符合题意的点M的横坐标即可．

试题解析：：（1）将A（-1，0）、B（4，5）分别代入y=x2+bx+c，得

，

解得b=-2，c=-3．

∴抛物线的解析式：y=x2-2x-3．

（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．

在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，

∴AC=BC．

∴∠BAC=45°，AB=．

如图1，过点O作OH⊥AB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA=1，

∴AH=OH=OA×sin45°=1×=，

∴BH=AB-AH=，

在Rt△BOH中，tan∠ABO=．

（3）直线AB的解析式为：y=x+1．

设点M的坐标为（x，x2-2x-3），

点N的坐标为（x，x+1），

如图2，当点M在点N的上方时，

则四边形MNCB是平行四边形，MN=BC=5．

由MN=（x2-2x-3）-（x+1）=x2-2x-3-x-1=x2-3x-4，

解方程x2-3x-4=5，得x=或x=．

②如图3，当点M在点N的下方时，则四边形NMCB是平行四边形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x2-2x-3）=x+1-x2+2x+3=-x2+3x+4，

解方程-x2+3x+4=5，得x=或x=．

所以符合题意的点M有4个，其横坐标分别为：、、、．