Question

如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点P为抛物线上的一个动点，过点P作轴于点D，交直线BC于点E．

求抛物线解析式；

若点P在第一象限内，当时，求四边形POBE的面积；

在的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线解析式为；（2）四边形POBE的面积为；（3）当或或或，以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．  

【解析】由抛物线的对称轴是直线，在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

根据函数解析式得到，，求得BC的解析式为，设，得到，，根据已知条件列方程得到，舍去，求得，，，根据三角形的面积公式即可得到结论；

设，以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得，于是得到；以BD为边，根据菱形的性质得到，，过M作轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．

抛物线的对称轴是直线，在抛物线上，

，解得：，抛物线解析式为；

令，解得：，，当时，，

，，

设BC的解析式为，则，解得：，，

设，

轴，

，，

，

，

，舍去，

，，，

S四边形POBE；

存在，设，

以BD为对角线，如图1，

四边形BNDM是菱形，

垂直平分BD，

，

，

，N关于x轴对称，

；

以BD为边，如图2，

四边形BNDM是菱形，

，，

过M作轴于H，

，

即，

不合题意，，

，

同理，

不合题意，舍去，，

，

以BD为边，如图3，

过M作轴于H，

，

即，

，不合题意，舍去，

，

综上所述，当或或或，以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．