Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴与C（0，3），D为抛物线上的顶点，直线y=x﹣1与抛物线交于M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线与点Q．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）求线段PQ的最大值；

（3）设E为线段OC的三等分点，连接EP、EQ，若EP=EQ，直接写出P的坐标．

Answer

（1）y=﹣（x﹣1）2+4，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；（2）当x=时，线段PQ的长度有最大值；（3）综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．

【解析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出即可得抛物线的解析式，最后通过配方成顶点式即可得到顶点D的坐标；

（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），则可得PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1），再根据二次函数的性质即可求得PQ长的最值；

（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），根据等腰三角形的性质可得QH=PH，然后分点E坐标为（0，1）和点E坐标为（0，2）两种情况分别讨论即可得到对应的P点坐标.

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），

∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（x﹣1）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，

当x=时，线段PQ的长度有最大值；

（3）作EH⊥PQ于H，如图，设Q（x，﹣x2+2x+3），则P（x，x﹣1），

∵EP=EQ，

∴QH=PH，

∵OC=3，E为线段OC的三等分点，

∴E（0，1）或（0，2），

当E点坐标为（0，1）时，则H（x，1），

∴﹣x2+2x+3﹣1=1﹣（x﹣1），

整理得x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3（舍去），此时P点坐标为（0，﹣1）；

当E点坐标为（0，2）时，则H（x，2），

∴﹣x2+2x+3﹣2=2﹣（x﹣1），

整理得x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，此时P点坐标为（1，0）或（2，1），

综上所述，P点坐标为（1，0）或（2，1）或（0，﹣1）．