Question

如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．

（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；

（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．

（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．

Answer

1

【解析】分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．

由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；

（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．

（3）分两种情况讨论即可．

详解：（1）D’A=1．理由如下：

过D′作D′N⊥CD于N．

∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= CD′=1．

由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，

∴四边形ACED’为平行四边形．

又∵∠DCE=90°，

∴四边形ACED’为矩形；

（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．

∵∠DCE=∠D’CE’=90°，

∴∠DCE’=∠D’CG．

又∵D’C= DC，CG=CE’，

∴△DCE’≌△D’CG，

∴GD’=E’D．

（3）分两种情况讨论：①如图1．

∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．

②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．