Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于O点、A点，B为抛物线上一点，C为y轴上一点，连接BC，且BC//OA，已知点O（0，0），A（6，0），B（3，m），AB=.

（1）求B点坐标及抛物线的解析式.，

（2）M是CB上一点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点E，求DE的最大值；

（3）坐标平面内是否存在一点F，使得以C、B、D、F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点F坐标；若不存在，请说明理由.

             

Answer

（1）B（6，0），y=;(2);(3) 满足条件的F点共3个：，，

【解析】分析：（1）运用勾股定理求出m的值，根据题意得点B为抛物线的顶点，设设抛物线为，即可求解；

（2）可求，设E，则D（，故DE＝，从而可得结果；

（3）设F，根据菱形的判定分三种情况进行讨论计算即可得解.

详【解析】
（1）如图，过点B作BG⊥OA于G，

由A（6，0），O（0，0）知抛物线对称轴为直线，

∴点B为抛物线的顶点。

∴AG=OG＝3，

∴，即，

解得，

∴B（3，6），

设抛物线为，过点B（6，0），

∴9a+6=0

∴a=-,

∴y=-(x-3)2+6=-x2+4x;

（2）可求，设E，则D（，

∴DE＝，

∴当x=，DE最大=.

（3）设F，

①当CD为菱形对角线时，

∵FD∥BC，

∴

∴

解得（舍去），.

②当BD为菱形对角线时，

∴

∴，（舍去）

③当BC为菱形对角线时，D、F均在BC的垂直平分线上，且FP=PD，

则，则D（，则PD=3，则，，。

综上所述，满足条件的F点共3个：，，。