Question

如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，以D为顶点的∠EDF的两边分别与AB、AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补.

（1）如图①，若AB=AC，且∠A=90°，证明：DE=DF；

（2）如图②，若AB=AC，那么（1）中的结论是否成立？请说明理由.

（3）如图③，若，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论.

Answer

（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3），理由见解析

【解析】分析：（1）首先根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DAC=∠BAC，AD⊥BC，再证明∠C=∠B=45°，∠ADE=∠FDC，AD=DC可以利用ASA定理证明△AED≌△CFD，进而得到DE=DF；

（2）DE=DF依然成立．如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90°，由于AB=AC，点D为BC中点，根据三角形的性质三线合一得到AD平分∠BAC，于是得到DM=DN，在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，得到∠MAN+∠MDN=180°，又由于∠EDF与∠MAN互补，证得∠MDN=∠EDF，推出△DEM≌△DFN（ASA），即可得到结论；

（3）结论DE：DF=n：m．如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD同（2）可证∠1=∠2，通过△DEM∽△DFN，得到．由于点E为AC的中点，得到S△ABD=S△ADC，列等积式即可得到结论．

详【解析】
（1）DF=DE，

理由：如图1，连接AD，

∵Rt△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=45°，

∴D是斜边BC的中点，

∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°，AD⊥BC，

∴AD=DC，

∵∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠ADE=∠FDC，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

∴DE=DF；

（2）DE=DF依然成立．

如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，

则∠EMD=∠FND=90°，

∵AB=AC，点D为BC中点，

∴AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∵在四边形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，

∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF与∠MAN互补，

∴∠MDN=∠EDF，

∴∠1=∠2，

在△DEM与△DFN中，

，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

（3）结论DE：DF=n：m．

如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，

同（2）可证∠1=∠2，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN，

∴．

∵点D为BC边的中点，

∴S△ABD=S△ADC，

∴，

∴，

∴．