Question

如图，抛物线：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将抛物线l在x轴下方部分沿x轴翻折，x轴上方的图像保持不变，就组成了函数的图像．

（1）若点A的坐标为（1，0）．

①求抛物线的表达式，并直接写出当x为何值时，函数的值y随x的增大而增大；

②如图2，若过A点的直线交函数的图像于另外两点P，Q，且，求点P的坐标；

（2）当时，若函数的值y随x的增大而增大，直接写出h的取值范围．

    

Answer

（1）①当或时，函数的值y随x的增大而增大，② P点坐标为，；（2）当或时，函数的值y随x的增大而增大．

【解析】分析：（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式，由对称性求点B的坐标，根据图象写出函数ƒ的值y随x的增大而增大（即呈上升趋势）的x的取值；
②如图2，作辅助线，构建对称点F和直角角三角形AQE，根据S△ABQ=2S△ABP，得QE=2PD，证明△PAD∽△QAE，则，得AE=2AD，设AD=a，根据QE=2FD列方程可求得a的值，并计算P的坐标；
（2）先令y=0求抛物线与x轴的两个交点坐标，根据图象中呈上升趋势的部分，有两部分：分别讨论，并列不等式或不等式组可得h的取值．

详【解析】
（1）①∵点A（1，0）在抛物线上，

∴ ．

解得h=3或．

∵点A在点B左侧，

∴（舍去）．

∴．

∴ 抛物线的表达式为．

∴抛物线的对称轴为直线．

∴由对称性得B（5，0）．

由图象可知：当或时，函数的值y随x的增大而增大．

②如图2，作PD⊥x轴于点D，延长PD交抛物线l于点F，作QE⊥x轴于点E．

由对称性可得 DF=PD．

∵，

∴．

∴QE=2PD．

∵∠ADP=∠AEQ=90°，∠PAD=∠EAQ．

∴△PAD∽△QAE．

∴．

∴AE=2AD．

设AD=a，则OD=1+a，OE=1+2a，P（1+，）．

∵点F，Q在抛物线上，

∴．

．

∴．

解得：或（舍去）．

∴P点坐标为，．

（2）（2）当y=0时，（x-h）2-2=0，
解得：x=h+2或x=h-2，
∵点A在点B的左侧，且h>0，
∴A（h-2，0），B（h+2，0），
如图3，作抛物线的对称轴交抛物线于点C，

分两种情况：
①由图象可知：图象f在AC段时，函数f的值随x的增大而增大，
则，

∴3≤h≤4，
②由图象可知：图象f点B的右侧时，函数f的值随x的增大而增大，
即：h+2≤2，
h≤0，
综上所述，当3≤h≤4或h≤0时，函数f的值随x的增大而增大．