Question

已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：　    　．

（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．

Answer

PA=PB；成立；PA=PB．

【解析】试题分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立．（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF•BP=AE•BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA•PB=2k．AB，所以PA•PB=k•AB，据此解答即可

试题解析：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD， ∴三角形CBD是直角三角形， 又∵点P为线段CD的中点，

∴PA=PB．

把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：

如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，

，

∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点， ∴PD=PE， 又∵点P为线段CD的中点，

∴PC=PD， ∴PC=PE； ∵PD=PE， ∴∠CDE=∠PEB， ∵直线m∥n， ∴∠CDE=∠PCA，

∴∠PCA=∠PEB， 又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE，

在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB．

（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，

，

∵直线m∥n， ∴， ∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB；

在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF， ∴， ∴AF•BP=AE•BF，

∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA•PB=2k．AB， ∴PA•PB=k•AB． ∴PA=PB