Question

设二次函数y₁，y₂的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=﹣c，b=2d，且开口方向相同时，则称y₁是y₂的“反倍顶二次函数”．

（1）请写出二次函数y=x²+x+1的一个“反倍顶二次函数”；

（2）已知关于x的二次函数y₁=x²+nx和二次函数y₂=nx²+x，函数y₁+y₂恰是y₁﹣y₂的“反倍顶二次函数”，求n．

Answer

（1）y=x2﹣x+；（2）.

【解析】试题分析：（1）先求出y=x2+x+1的顶点坐标，然后根据反倍顶二次函数”的定义求出答案；

（2）先求出y1+y2和y1-y2的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a=-c，b=2d，且开口方向相同求出n的值．

试题解析：（1）∵y=x2+x+1，∴y=，

∴二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（﹣， ），

∴二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（， ），

∴反倍顶二次函数的解析式为y=x2﹣x+；

（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，

y1+y2=（n+1）（x2+x+）﹣，

顶点坐标为（﹣，﹣），

y1﹣y2=x2+nx﹣nx2﹣x=（1﹣n）x2+（n﹣1）x，

y1﹣y2=（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，顶点坐标为（，﹣），

由于函数y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍顶二次函数”，则﹣2×=﹣，

解得n=．