Question

如图，二次函数y=﹣x²+mx+n的图象经过点A（2，3），与x轴的正半轴交于点G（1+，0）；一次函数y=kx+b的图象经过点A，且交x轴于点P，交抛物线于另一点B，又知点A，B位于点P的同侧．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若PA=3PB，求一次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使⊙C同时与x轴和直线AP都相切？如果存在，请求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．

   

Answer

（1）；（2） 或； （3）存在这样的点或（1，﹣5﹣10），使得同时与轴和直线都相切．

【解析】分析：（1）根据抛物线的对称轴为x=1可求出m的值，再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n值，此题得解；

（2）根据P、A、B三点共线以及PA=3PB结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式；

（3）假设存在，设出点C的坐标，依照题意画出图形，根据角的计算找出∠DCF=∠EPF，再通过解直角三角形找出关于r的一元一次方程，解方程求出r值，将其代入点C的坐标中即可得出结论．

详解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得：m=．

将点A（2，3）代入y=﹣x2+x+n中，3=﹣1+1+n，解得：n=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．

（2）∵P、A、B三点共线，PA=3PB，且点A、B位于点P的同侧，∴yA﹣yP=3（yB﹣yP）．

又∵点P为x轴上的点，点A（2，3），∴yB=1．

当y=1时，有﹣x2+x+3=1，解得：x1=﹣2，x2=4，∴点B的坐标为（﹣2，1）或（4，1）．

将点A（2，3）、B（﹣2，1）代入y=kx+b中得，解得：，∴一次函数的解析式y=x+2；

将点A（2，3）、B（4，1）代入y=kx+b中，解得：，∴一次函数的解析式y=﹣x+5．

综上所述：当PA：PB=3：1时，一次函数的解析式为y=x+2或y=﹣x+5．

（3）假设存在，设点C的坐标为（1，r）．

∵k＞0，∴直线AP的解析式为y=x+2．

当y=0时，x+2=0，解得：x=﹣4，∴点P的坐标为（﹣4，0），当x=1时，y=，∴点D的坐标为（1，）．

令⊙与直线AP的切点为F，与x轴的切点为E，抛物线的对称轴与直线AP的交点为D，连接CF，如图所示．

∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，∴∠DCF=∠EPF．

在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF=，CD=﹣r，∴CD=CF=|r|=﹣r，解得：r=5﹣10或r=﹣5﹣10．

故当k＞0时，抛物线的对称轴上存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，点C的坐标为（1，5﹣10）或（1，﹣5﹣10）．