Question

矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，P为DE上的一点（PE＜PD），PM⊥PD，PM交AD边于点M．

（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．

求证：①PN=PF；②DF+DN=DP；

（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】分析：（1）①利用矩形的性质，结合已知条件可证△PMN≌△PDF，则可证得结论；②由勾股定理可求得DM=DP，利用①可求得MN=DF，则可证得结论；

（2）过点P作PM1⊥PD，PM1交AD边于点M1，则可证得△PM1N≌△PDF，则可证得M1N=DF，同（1）②的方法可证得结论．

详解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．

又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；

∵PM⊥PD，∠DMP=45°，∴DP=MP．

∵PM⊥PD，PF⊥PN，∴∠MPN+∠NPD=∠NPD+∠DPF=90°，∴∠MPN=∠DPF．

在△PMN和△PDF中，∵ ，

∴△PMN≌△PDF（ASA），∴PN=PF，MN=DF；

②∵PM⊥PD，DP=MP，∴DM2=DP2+MP2=2DP2，∴DM=DP．

∵又∵DM=DN+MN，且由①可得MN=DF，∴DM=DN+DF，∴DF+DN=DP；

（2）．理由如下：

过点P作PM1⊥PD，PM1交AD边于点M1，如图，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°．

又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°；

∵PM1⊥PD，∠DM1P=45°，∴DP=M1P，∴∠PDF=∠PM1N=135°，同（1）可知∠M1PN=∠DPF．在△PM1N和△PDF中，，

∴△PM1N≌△PDF（ASA），∴M1N=DF，由勾股定理可得：=DP2+M1P2=2DP2，∴DM1DP．

∵DM1=DN﹣M1N，M1N=DF，∴DM1=DN﹣DF，∴DN﹣DF=DP．