Question

如图，抛物线y=ax²+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；

（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) 抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2；(2);(3) 当N（，﹣）或（4.6，）或（5﹣，﹣）或（5+，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；

（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式，设D（m，0），得到E（m，），P（m，），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D，P，E的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；

（3）设M（n，），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n的值，于是得到N的坐标；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，

∴，解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）令=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，

∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则：，解得：，

∴ ，

设D（m，0），∵DP∥y轴，

∴E（m，），P（m，），

∵OD=4PE，

∴m=4（﹣）

∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5，），E（5，），

∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=；

（3）存在，设M（n，），

①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，

∴n=4+=，

∴M（，），

∵M，N关于x轴对称，

∴N（，﹣）；

②以BD为边，如图2，

∵四边形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+DH2=DM2，即，

∴n1=4（不合题意），n2=5.6，

∴N（4.6，），同理，

∴n1=（不合题意，舍去），n2=，

∴N（，）；

③以BD为边，如图3，过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+BH2=BM2，即，

∴n1=，n2=（不合题意，舍去），

∴N（，）．

综上所述，当N（，﹣）或（4.6，）或（，）或（，），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．