Question

如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）时，如图②，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H；

（ⅰ）求证：BD⊥CF；

（ⅱ）当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．

Answer

（1）BD=CF．理由见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明

≌证明结论；
（2）①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可；
②连接DF，延长AB交DF于M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出DM、BM的长，根据勾股定理求出BD的长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得到答案．

试题解析：(1)BD=CF.

理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=，

在△CAF和△BAD中，

∴△CAF≌△BAD，

∴BD=CF；

(2)①由(1)得△CAF≌△BAD，

∴∠CFA=∠BDA，

，即BD⊥CF；

②连接DF，延长AB交DF于M，

∵四边形ADEF是正方形,

∴AM=DM=3，BM=AM−AB=1，

∵△ABC绕点A逆时针旋转，

∴∠BAD=，

∴AM⊥DF，

又

∴△DMB∽△DHF，

即

解得,