Question

某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元．

（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件．考虑到资金周转，用于购买这80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7

（3）若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元．在（2）中的各种进货方案中，若全部销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少元？

Answer

（1）购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元．（2）有三种进货方案．方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品62件，乙种纪念品18件．（3）若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元．

【解析】分析：（1）设购进甲种纪念品每件价格为x元，乙种纪念币每件价格为y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；

（2）设购进甲种纪念品a件，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式得出a的取值范围，即可得出结论；

（3）找出总利润关于购买甲种纪念品a件的函数关系式，由函数的增减性确定总利润取最值时a的值，从而得出结论．

详【解析】
（1）设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元．

由题意得：，

解得：

答：购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元．

（2）设购进甲种纪念品a（a≥60）件，则购进乙种纪念品（80﹣a）件．由题意得：

100a+50（80﹣a）≤7100

解得a≤62

又a≥60

所以a可取60、61、62．

即有三种进货方案．

方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；

方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；

方案三：甲种纪念品62件，乙种纪念品18件．

（3）设利润为W，则W=20a+30（80﹣a）=﹣10a+2400

所以W是a的一次函数，﹣10＜0，W随a的增大而减小．

所以当a最小时，W最大．此时W=﹣10×60+2400=1800

答：若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元．