Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90，AC=BC=4，D为AB的中点，E，F分别是AC， BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD．连接DE， GE， GF．

  (1)求证：四边形EDFG是正方形；

  (2)直接写出四边形EDFG面积的最小值和E点所在的位置．

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形EDFG的最小值是4，此时，E为线段AC的中点

【解析】分析：（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；

（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．

详解：（1）连接CD，如图1所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中，∵，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．

∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形；

（2）过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．

∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′=BC=2，AB=4，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号），∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8，∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．