Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；

（2）求证：∠DAB=∠ACB；

（3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

Answer

（1）（﹣1，4）；（2）∠DAB=∠ACB；（3） ，

【解析】试题分析：（1）把B、C坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得到抛物线解析式，从而得到抛物线顶点坐标；

（2）由tan∠OCB=．tan∠DAC=，得到∠DAC=∠OCB，从而得到结论；

（3）令Q（x，y）且满足，由△ADQ是以AD为底的等腰三角形，得到QD2=QA2，从而得到x-2+2y=0．解方程组，即可得到结论．

试题解析：解：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，

得：，解得：．

∴抛物线的解析式是：，∴顶点坐标D（－1，4）．

（2）令y=0，则，x1=－3，x2=1，∴A（－3，0），∴OA=OC=3，∴∠CAO=∠OCA．在Rt△BOC中，tan∠OCB=．

∵AC=，DC=，AD=，∴AC2+DC2=20，AD2=20，∴AC2+DC2=AD2，∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴tan∠DAC=．

又∵∠DAC和∠OCB都是锐角，∴∠DAC=∠OCB，∴∠DAC+∠CAO=∠BCO+∠OCA，即∠DAB=∠ACB．

（3）令Q（x，y）且满足，A(－3，0），D（－1，4）．∵△ADQ是以AD为底的等腰三角形，∴QD2=QA2，即 ，化简得：x-2+2y=0．

由，解得：，，

∴点Q的坐标是（，），（，）．