Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC．

（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；

（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形．

Answer

(1)见解析;(2)见解析.

【解析】分析：(1)先证明AE∥FG,根据等边对等角∠GFC=∠C,及等腰三角形的性质得到∠B=∠C,则∠B=∠GFC,得到AE∥FG;(2)根据三角形FGC的内角和是180°，结合∠FGC=2∠EFB和∠GFC=∠C,得到∠BFE+∠GFC=90°,则∠EFG=90°.

详【解析】
证明：（1）∵在梯形ABCD中，AB=DC，

∴∠B=∠C．

∵GF=GC，

∴∠C=∠GFC，

∴∠B=∠GFC

∴AB∥GF，即AE∥GF．

∵AE=GF，

∴四边形AEFG是平行四边形．

（2）∵∠FGC+∠GFC+∠C=180°，∠GFC=∠C，∠FGC=2∠EFB，

∴2∠GFC+2∠EFB=180°，

∴∠BFE+∠GFC=90°．

∴∠EFG=90°．

∵四边形AEFG是平行四边形，

∴四边形AEFG是矩形．