Question

已知：M点是等边三角形△ABC中BC边上的中点，也是等边△DEF中EF边上的中点，连结AD.

（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出的值；

（2）如图2，△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点M顺时针旋转（≤≤角，

①判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；

②作DH⊥BC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．

   

Answer

（1）=；（2）① （1）中结论仍成立：②S=x+(3x3+)

【解析】分析：（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形，设DG=HE=x，则在直角△ADG和直角△BEH中，利用x表示出AD和BE的长，即可求得数量关系；

（2）①连接DM，AM，然后证明△ADM∽△BEM，即可证得结论；

②根据△ADM∽△BEM，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，以及面积的和差即可求得函数的解析式．

详【解析】

（1）作DG⊥AB于点G，作EH⊥AB于点H．则四边形DGHE是矩形（如图1），

设DG=HE=x，

在直角△ADG中，AD==2x，

在直角△BEH中，BE==，

则=；

（2）① （1）中结论仍成立：

证明：连接DM，AM，

在等边三角形ABC中，M为BC的中点，

∴AM⊥BC，∠BAM=∠BAC=30°，=，

∴∠BME+∠EMA=90°．

同理=，∠AMD+∠EMA=90°．

∴=，∠AMD=∠BME，

∴△ADM∽△BEM，

∴ ==；

②∵△ADM∽△BEM，

∴==3，

∴=，

∴S=+--

=+-

=33+3(x-3)- 1

=x+，

S=x+(3x3+)．