Question

如图，抛物线与轴的负半轴交于点A，对称轴经过顶点B与轴交于点M.

（1）求抛物线的顶点B的坐标 (用含m的代数式表示)；

（2）连结BO，若BO的中点C的坐标为(，)， 求抛物线的解析式；  

（3）在（2）的条件下，D在抛物线上，E在直线 BM上，若以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.

                                    　备用图

Answer

（1）抛物线的顶点坐标为（，-）；（2）y=- -2x；（3）(,-)，(-,-)，(-,).

【解析】分析：（1）利用配方法或公式法都能求出点B的坐标；

（2）根据中点坐标公式求出m的值，代入抛物线的解析式即可；

（3）先求出A点坐标与对称轴方程，再设D（x，x2-2x），E（-3，t），分当AC为平行四边形的对角线；AE为对角线与AD为对角线三种情况进行讨论．

详【解析】
（1）∵y=-2x=(-mx+)-=-，

∴抛物线的顶点坐标为（，-）；

（2）∵B（，-），BO的中点C的坐标为(，)，

∴m=，

解得m=-6，

∴抛物线的解析式为：y=x2-2x；

（3）令y=0，得=-6，=0，

∴A(-6，0)．

由点D在抛物线y=--2x上，设D(t，--2t).

(i)当AC为所求平行四边形的一边时，

a. 如图，过C作CFx轴于F，

过作HBE于H，

则==-, ==-3.

由四边形ACD1E1为平行四边形，

可证△ACF≌△D1E1H.

可得D1H=AF=4.5，

∴t-(-3)=4.5，

t=，

(，-)；

b.如图，同a方法可得H=AF=4.5，

-3-t=4.5，

t=-7.5，

(-，-)；

(ii)当AC为所求平行四边形的对角线时，

如图，过C作CFBM于F，

过作Hx轴于H，

则==-3，==t.

由四边形AC为平行四边形，

可证△AH≌△CF.

可得AH=CF=.

t-(-6)= ，

t=-.

(-，)．

综上，点D的坐标为(，-)，(-，-)，(-，)．