Question

平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．

（1）若一次函数y₁=kx+b的图象经过A、B两点．

①当a=1、d=﹣1时，求k的值；

②若y₁随x的增大而减小，求d的取值范围；

（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；

（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．

Answer

（1）①k的值为﹣3；②d＞﹣4；（2）AB∥x轴；（3）线段CD的长随m的值的变化而变化，DC=|8﹣2m|．

【解析】试题分析：（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，于是得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；

②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），结合已知条件2a﹣m=d，可求得d的取值范围；

（2）由d=﹣4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；

（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，2m），D（0，4m﹣8），于是可得到CD与m的关系式．

试题解析：【解析】
（1）①当a=1、d=﹣1时，m=2a﹣d=3，所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6．

∵a=1，∴点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，把x=1代入抛物线的解析式得：y=6，把x=3代入抛物线的解析式得：y=0，∴A（1，6），B（3，0）．

将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：，解得：，所以k的值为﹣3．

②∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m=﹣（x﹣m）（x+2），∴当x=a时，y=﹣（a﹣m）（a+2）；当x=a+2时，y=﹣（a+2﹣4）（a+4），∵y1随着x的增大而减小，且a＜a+2，∴﹣（a﹣m）（a+2）＞﹣（a+2﹣m）（a+4），解得：2a﹣m＞﹣4，又∵2a﹣m=d，∴d的取值范围为d＞﹣4．

（2）∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4，2a﹣m=d，∴m=2a+4，∴二次函数的关系式为y=﹣x2+（2a+2）x+4a+8．

把x=a代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8．

把x=a+2代入抛物线的解析式得：y=a2+6a+8，∴A（a，a2+6a+8）、B（a+2，a2+6a+8）．

∵点A、点B的纵坐标相同，∴AB∥x轴．

（3）线段CD的长随m的值的变化而变化．

∵y=﹣x2+（m﹣2）x+2m过点A、点B，∴当x=a时，y=﹣a2+（m﹣2）a+2m，当x=a+2时，y=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m，∴A（a，﹣a2+（m﹣2）a+2m）、B（a+2，﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m），∴点A运动的路线是的函数关系式为y1=﹣a2+（m﹣2）a+2m，点B运动的路线的函数关系式为y2=﹣（a+2）2+（m﹣2）（a+2）+2m，∴点C（0，2m），D（0，4m﹣8），∴DC=|2m﹣（4m﹣8）|=|8﹣2m|，∴线段CD的长随m的值的变化而变化．

当8﹣2m=0时，m=4时，CD=|8﹣2m|=0，即点C与点D重合；当m＞4时，CD=2m﹣8；当m＜4时，CD=8﹣2m．