Question

（2017江苏省泰州市，第25题，12分）阅读理【解析】

如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA₁最短，则线段PA₁的长度称为点P到图形l的距离．

例如：图②中，线段P₁A的长度是点P₁到线段AB的距离；线段P₂H的长度是点P₂到线段AB的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（8，4），（12，7），点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒．

（1）当t=4时，求点P到线段AB的距离；

（2）t为何值时，点P到线段AB的距离为5？

（3）t满足什么条件时，点P到线段AB的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

Answer

（1）；（2）t=5或t=11；（3）8﹣≤t≤．

【解析】试题分析：（1）作AC⊥x轴，由PC=4、AC=4，根据勾股定理求解可得；

（2）作BD∥x轴，分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P位于AC左侧时，根据勾股定理即可得；P位于AC右侧时，作AP2⊥AB，交x轴于点P2，证△ACP2≌△BEA得AP2=BA=5，从而知P2C=AE=3，继而可得答案；

（3）分点P在AC左侧和右侧两种情况求解，P位于AC左侧时，根据勾股定理即可得；点P位于AC右侧且P3M=6时，作P2N⊥P3M于点N，知四边形AP2NM是矩形，证△ACP2∽△P2NP3得，求得P2P3的长即可得出答案．

试题解析：【解析】
（1）如图1，作AC⊥x轴于点C，则AC=4、OC=8，当t=4时，OP=4，∴PC=4，∴点P到线段AB的距离PA===；

（2）如图2，过点B作BD∥x轴，交y轴于点D．

①当点P位于AC左侧时，∵AC=4、P1A=5，∴P1C= ==3，∴OP1=5，即t=5；

②当点P位于AC右侧时，过点A作AP2⊥AB，交x轴于点P2，∴∠CAP2+∠EAB=90°，∵BD∥x轴、AC⊥x轴，∴CE⊥BD，∴∠ACP2=∠BEA=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠P2AC，在△ACP2和△BEA中，∵∠ACP2=∠BEA=90°，AE=BE，∠P2AC=∠ABE，∴△ACP2≌△BEA（ASA），∴AP2=BA= = =5，而此时P2C=AE=3，∴OP2=11，即t=11；

综上所述：t=5或t=11．

（3）如图3，①当点P位于AC左侧，且AP3=6时，则P3C===，∴OP3=OC﹣P3C=8﹣；

②当点P位于AC右侧，且P3M=6时，过点P2作P2N⊥P3M于点N，则四边形AP2NM是矩形，∴∠AP2N=90°，∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，∴，即，∴P2P3=，∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=，∴当8﹣≤t≤时，点P到线段AB的距离不超过6．