Question

已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．

（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；

（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．

Answer

（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．

【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定定理证明Rt△BCD≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质解答；

（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可．

试题解析：【解析】
（1）AE=DB，AE⊥DB．证明如下：

∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；

（2）DE=AF，DE⊥AF．证明如下：

设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．