Question

如图，抛物线与轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（-1，4）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD面积等于6时，求点D的坐标；

（3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CB翻折，使点P的对应点P'与P、E、C处在同一平面内，请求出P'坐标，并判断点P'是否在抛物线上.

Answer

(1) ；M（-1,4）；（2）点D的坐标为（-1，-2）或（-1，6）.

；（3）点P′不在该抛物线上．

【解析】分析：（1）由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；

（2）设点D坐标为（﹣1，yD），根据△ACD的面积=6，即可得出关于yD含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；

（3）作点P关于直线CE的对称点P′，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．根据对称的性质即可得出△EON≌△CP′N，从而得出CN=NE，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标．在Rt△P′NC中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及线段间的关系即可找出点P′的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．

详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C（0，3），顶点为M（﹣1，4），∴，解得：，∴所求抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．

（2）依照题意画出图形，如图1所示．

令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1，故A（﹣3，0），B（1，0），∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形．

设AC交对称轴x=﹣1于F（﹣1，yF），由点A（﹣3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3，∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．

设点D坐标为（﹣1，yD），则S△ADC=DF•AO=×|yD﹣2|×3=6．

解得：yD=﹣2或yD=6，∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，6）．

（3）如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．

在△EON和△CP′N中，，∴△EON≌△CP′N（AAS）．

设NC=m，则NE=m．

∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直线AM的解析式为y=2x+6，∴当y=3时，x=﹣，即点P（﹣，3），∴P′C=PC=，P′N=3﹣m．在Rt△P′NC中，由勾股定理，得：+（3﹣m）2=m2，解得：m=．

∵S△P′NC=CN•P′H=P′N•P′C，∴P′H=．

由△CHP′∽△CP′N可得：，∴CH==，∴OH=3﹣=，∴P′的坐标为（）．

将点P′（）代入抛物线解析式，得：y=﹣﹣2×+3=≠，∴点P′不在该抛物线上．