Question

如图，点O是边长为的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB₁C₁，B₁C₁交BC于点D，B₁C₁交AC于点E，则CE=(      )

A. 2    B.     C.     D.

Answer

C

【解析】分析：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，根据等边三角形的性质以及内心的性质找出△FOB为等腰三角形，求出BF的长，根据三角形内角和定理得出△FB1D是底角为30°的等腰三角形，得到FB1=FD，从而得到BD、CD的长，再根据三角形内角和定理得出∠DEC=90°，即可得出CE的长度．

详解：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，∴∠BOF=30°．

∵点O是边长为4的等边△ABC的内心，∴∠OBF=30°，OB=AB=4，∴△FOB为等腰三角形，BN=OB=2，∴BF===OF．

∵∠OBF=∠OB1D=∠BOB1=30°，∠BFO=∠B1FD，∴∠FDB1=30°，∴FB1=FD，∴BD=OB1=OB=4，∴DC=BC-BD=4﹣4．

∵∠FDB1=30°，∴∠EDC=30°．

∵∠BCA=60°，∴∠DEC=90°，∴EC=DC=．

故选C．