Question

某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：P＝，日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示：

(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？

(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m＜7)元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．

Answer

(1) y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；(2) 第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元;(3) 5≤m＜7.

【解析】分析：（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；

（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；

（3）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．

详解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：

，

解得：．

∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；

（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，

①当1≤t≤40时，

w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450．

∴当t=30时，w最大=2450．

②当41≤t≤80时，

w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100．

∴当t=41时，w最大=2301．

∵2450＞2301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．

（3）设日销售利润为w，根据题意，得：

w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m．

其函数图象的对称轴为t=2m+30．

∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，

∴由二次函数的图象及其性质可知：40≤2m+30．

解得：m≥5．

又m＜7，

∴5≤m＜7．