Question

如图，矩形ABCD接于半径为2.5的⊙O，AB＝4， 延长BA到E，使AE=，连接ED．

(1)求证：直线ED是⊙O的切线；

(2)连接EO交AD于F，求FO的长．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】分析：（1）连结BD．由ABCD是矩形，得到BD的长．在Rt△ABD中，由勾股定理得到AD的长．在Rt△AED中，由勾股定理得到ED2．在△BED中，由勾股定理得到BE2，从而得到BD2=BE2-ED2，由勾股定理的逆定理得到∠BDE＝90°，从而得到结论．

（2）过点O作OH⊥AB于H，由垂径定理得到AH=BH=2．由三角形中位线定理得到OH=AD=1.5．在Rt△EHO中，由勾股定理得到EO的长．再由OH∥AD，得到，从而得到结论．

详【解析】
（1）连结BD．

∵ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD是直径，∴BD＝5．

在Rt△ABD中，AD==3，

∠EAD＝180°-∠BAD＝90°．

在Rt△AED中，ED2=AD2+AE2=．

在△BED中，BE2=(4+ )2=，BD2=25，BE2-ED2=-=25，

∴BD2=BE2-ED2，∴∠BDE＝90°．

又∵BD是直径，∴ED是⊙O的切线．

（2）过点O作OH⊥AB于H，则AH=BH=AB=2．

又∵OB=OD，∴OH=AD=1.5．

在Rt△EHO中，EO==．

∵∠OHB＝∠DAB＝90°，∴OH∥AD．

∴．

∴OF=．