Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB=，BC＝12cm，点N从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度运动，点N到达点B时停止运动，以CN为边在BC的上方作正方形CNGH，正方形CNGH的边NG所在直线与线段AB交于点Q，设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，QN的长为6cm？

（2）连结CQ，当t为何值时，△CQB是等腰三角形？

（3）设正方形CNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S．求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.

          

       图1                                           备用图

Answer

（1）4秒；（2）或6秒；（3）见解析.

【解析】（1）在Rt△BQN中，根据tan∠ABC=，NQ=6，从而可求得BN的长，继而得CN长，根据运动速度即可得；

（2）连结CQ，分BQ=BC、QC=BC两种情况进行讨论即可得；

（3）分三种情况，分别画出图形进行讨论即可得.

（1）在Rt△BQN中，

∵tan∠ABC=，NQ=6，

∴ ，

∴BN=8，

∴CN=12-8=4，

∴t=4÷1=4（秒）；

（2）连结CQ，

①当BQ=BC=12时，

由（1）知 ，

∴设QN=3x，BN=4x，

由勾股定理知：，

∴，

解得x ，

∴BN，

∴CN=12-=，

∴t=÷1=（秒）；

②当QC=BC时，

∵QN⊥BC，

∴CN=BN=6，

∴t=6÷1=6（秒），

答：当t=或6时，△QCB为等腰三角形；

（3）①当G在AB上时，GN=CN=t，

∴，∴t=，

如图1, 当时，重叠部分为正方形CNGH，

∴S= ，

∴当时，S=，

②当H与点A重合时，CN=AC，

∵，∴AC=BC=9，

∴CN=9，则当时 ，

如图2,重叠部分为五边形HCNQM，

S=，

∵NQ=NB==，

∴GQ=GN-NQ=，

∵HG//BC，∴∠GMQ =∠ABC，

∴，

∴MG=，

∴S=，

=，

∴当时， S= ；

③如图③，当时，重叠部分为四边形ACNQ，

，

，

综上：S= .