Question

如图1，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点,点P为抛物线的顶点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求∠PAB的正弦值；

（3）如图2，四边形MCDN为矩形，顶点C、D在x轴上，M、N在x轴上方的抛物线上，若MC=8，求线段MN的长度.

 

图1                    图2

Answer

（1）y=﹣x2+4x+5；（2）；（3）2.

【解析】（1）把A、B的坐标分别代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求得；

（2）先根据解析式求得点P的坐标，过点P作PQ⊥x轴，则可得AQ、PQ的长，继而根据勾股定理可得AP的长，利用正弦的定义进行求解即可得；

（3）由题意把y=8代入二次函数解析式，解方程求得M、N的横坐标，即可求得MN的长.

（1）把A（-1,0）、（5,0）两点分别代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解之得： ，

∴y=﹣x2+4x+5，

（2）∵ y=﹣x2+4x+5= ﹣(x﹣2)2+9，

∴P(2,9) ，

过点P作PQ⊥x轴，则AQ=3,PQ=9，

∴AP= ，

∴sin∠PAB=，

（3）当y=8时，﹣x2+4x+5=8 ，

解得：,，

∴M（1，8），N(3，8)，

∴MN=3-1=2 .