Question

如图所示，在∠BAC中

（1）利用尺规按下列要求作图，作∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线的交点D，过点D分别作线段DE⊥AB于点E、线段DF⊥AC于点F．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）求证：BE=CF．

（3）求证：AB+AC=2AF．

Answer

(1)见解析;(2) 见解析; (3) 见解析.

【解析】分析：（1）利用基本作图（作角的平分线、线段的垂直平分线和过一点作直线的垂线）作的平分线和线段BC的垂直平分线得到点D，然后于点E、于点F；
（2）利用角平分线和线段的垂直平分线的性质得到，则可证明≌，从而得到
（3）先证明≌得到然后利用等线段代换证明结论．

详【解析】
(1)如图，DE、DF为所作；

(2)证明：连接DB、DC，如图，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵点D在线段BC的垂直平分线上，

∴DB=DC，

在Rt△DBE和Rt△DCF中

∴≌，

∴BE=CF；

(3)证明：在Rt△ADE和Rt△ADF中

∴≌

∴AE=AF，

∵AE=AB−BE，BE=CF，

∴AE=AB−CF，

而CF=AF−AC，

∴AE=AB−(AF−AC)=AB+AC−AF，

∴AB+AC−AF=AF，

∴AB+AC=2AF.