Question

如图，已知矩形ABCD，点E为AD上一点，BE ⊥ AC于F点．

（1）若AE=AD，△AEF的面积为1时，求△ABC的面积；

（2）若AD = 4，tan∠EAF =，求AF的长；

（3）若tan∠EAF =，连接DF，证明DF=AB．

Answer

(1)12;（2）;(3）见解析.

【解析】分析：证明三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出.

利用正切得到 AB = DC = 2，tan∠ABF = ，即BF=2AF，用勾股定理即可求出的长.

∠EAF =∠ABF，tan∠EAF =，可以得到,可以推出E为AD中点，

延长BE、CD交于点G，易证△ABE ≌△DGE，即可证明.

详【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AD = BC，,

∴ ,

∵S△AEF = 1,

∴S△CBF = 9S△AEF = 9，S△ABF = 3S△AEF = 3,

∴S△ABC = S△ABF + S△CBF = 12.

（2）∵AD = 4，tan∠EAF =,

∴

∴AB = DC = 2,

∵∠EAF + ∠BAF = 90°，∠BAF + ∠ABF = 90° ,

∴∠EAF = ∠ABF,

∴ tan∠ABF = ，即BF=2AF,

∵AF2 + BF2 = AB2,

∴

∴AF =.

（3）∵∠EAF =∠ABF，tan∠EAF =,

∴，,

∴,

∴ ,

∴E为AD中点,

延长BE、CD交于点G,

易证△ABE ≌ △DGE,

∴DG = AB = DC,

∴DF = DC.