Question

已知抛物线．

（1）求证：抛物线与轴必定有公共点；

（2）若P（，y₁），Q（－2，y₂）是抛物线上的两点，且y₁y₂，求的取值范围；

（3）设抛物线与x轴交于点、，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，记△ACE的面积为S₁，△DCE的面积为S₂，求是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）或，（3）没有最小值；有最大值是

【解析】分析：（1）本题需先根据判别式解出无论m为任何实数都大于零，再判断出物线与x轴总有交点．

（2）分两种情况：当点P在对称轴的左侧时，随的增大而减小，得；当点P在对称轴的右侧时，随的增大而增大，，故得解.

详【解析】
（1）令 得

∴

∴

无论取何值，

∴ 抛物线与轴必定有公共点

（2）∵，抛物线的对称轴是

当点P在对称轴的左侧时，随的增大而减小，

∵y1y2，

当点P在对称轴的右侧时，随的增大而增大，

Q（－2，y2）关于对称轴的对称点是（3，y2）

∵y1y2，

综上所述：或

（3），

∵ 、∴ ，解得或

∴

∴ 、，

∴ 直线BC的解析式是

设点A到直线BC的距离是，点D到直线BC的距离是，

△ACE的面积S1，△DCE的面积S2

∴ ，

∴ 求的最值转化为求的最值

设过点D与直线BC平行的直线解析式为

当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，无最小值，仅当直线与抛物线只有一个公共点时，有最大值

即方程组有两个相等的实数根

∴， ，

∴，此时

∴ 没有最小值；有最大值是

∴、