Question

如图，⊙O是△ABC的内切圆．

（1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E，

① 求∠BOC的度数；

② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并证明你的结论；

（2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离．

Answer

（1）①120°，②BC= BE＋CD；（2）平移的距离是1.2.

【解析】分析：（1）①由点O是内心得∠BOC＝120°；

②由切线长定理可证得.

（2），连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M，由以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求得EF=3.6，再证明△AOE∽△ABN，求得，再证明△AED∽△ABC，得ED=3.2，即可求解.

详【解析】
（1）①∵∠A＝60°

∴∠ABC＋∠ACB＝120°

∵⊙O是△ABC的内切圆

∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB

∴∠DBC＋∠ECB＝60°

∴∠BOC＝120°

②BC= BE＋CD

作∠BOC的平分线OF交BC于点F，

∵∠BOC＝120°

∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60°

在△BOE与 △BOF中

∴ △BOE≌△BOF（ASA）

∴ BE=BF

同理可证：CD=CF

∴ BC= BE＋CD

（2）如图，连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M

∵⊙O是△ABC的内切圆

∴ AO是∠BAC的平分线，

又 AB＝AC，

∴ AN⊥BC

∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝

∴ AN＝8，BN＝6

由切线长定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4，

∵点D、E是⊙O的切点，连接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN，

∴△AOE∽△ABN，，即

解得

∴

∵，∠BAC=∠BAC

∴△AED∽△ABC

∴ ，

以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形

∴∠DEF＝90°

∴ 是⊙O 的直径

∴

∴平移的距离是