Question

如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点，且AE＝DF，AF、BE相交于点P，设AB＝，AE＝ ，则下列结论：①△ABE≌△DAF；②AF⊥BE；③；④若，连接BF，则tan∠EBF＝．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号）

Answer

①②③④

【解析】分析：①根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，又EA=DF，根据“SAS”可判断△ABE≌△DAF，②利用∠FAD+∠FAB=90°得到∠ABE+∠FAB=90°，则AE⊥BF；③利用APE∽△ADF可得，故可求解；④分别求出BE、AP、BP、PE的长，即可求解.

详【解析】
∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，

在△ABE和△DAF中

，

∴△ABE≌△DAF，故①正确；

∴∠ABE=∠FAD，

而∠FAD+∠FAB=90°，

∴∠ABE+∠FAB=90°，

∴∠APB=90°，

∴AF⊥BE，所以②正确；

由①得∠AEB=∠DFA

∴APE∽△ADF

∴

∴

∴，故③正确；

连接BF，如图：

∵

∴在Rt△ABE中，BE=

∴AP=，

∴FP=

∴tan∠EBF=,故④正确.

故答案为：①②③④.