Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

(1)求证：DH是圆O的切线；

(2)若，求证：A为EH的中点．

(3)若EA=EF=1，求圆O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】分析：（1）由角的关系易证OD//AC，已知即证

（2）由OD//AC，可证根据“相似三角形的对应边成比例”易得, 设 证明 是等腰三角形，表示出即可证明.

（3）通过等量关系表示出边的长度，由可得对应边的比例关系的方程，求解即可.

详【解析】
(1)连接OD，如图1，

∵在⊙O中，

∴

∵

∴

∴

∴OD//AC，

∵

∴

∴

∴

∴DH是圆O的切线；

(2)∵

∴

∴，

设

连接AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，即

∵

∴D是BC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴

∵在⊙O中，

∴

∴是等腰三角形，

∵

∴

∵A在EH上且,

∴A为EH的中点.

(3)如图2，设⊙O的半径为r，即

∵

∴

∵OD∥EC，

∴

则

∴

∴

∴

在⊙O中，∵

∴

∴，是等腰三角形，

∴

∴

∵

∴

解得： (不合题意，舍去)，

综上所述，⊙O的半径为．