Question

如图，抛物线y₁=ax²+2ax+1与轴有且仅有一个公共点A，经过点A的直线y₂=kx+b交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．

(1)求的值；

(2)求直线AB对应的函数解析式；

(3)直接写出当y₁ ≥y₂ 时，的取值范围．

Answer

(1)a的值为1(2)直线AB的解析式为y=2x+2(3)当y1 ≥y2时，x的取值范围为 x≥1或x≤-1

【解析】分析：根据抛物线与轴有且仅有一个公共点，则，即可求出的值；

求得的坐标，用待定系数法即可求出直线AB对应的函数解析式；

结合两个函数图象可知当但直线在抛物线上方时可得到的解集．

详【解析】
(1)∵抛物线与x轴有且仅有一个公共点A，

∴

解得a1=0(舍去)，a2=1，

∴a的值为1.

(2)由(1)得抛物线解析式为

∵

∴顶点A的坐标为

∵点C是线段AB的中点， c的横坐标为0，设B的横坐标为m.

∴,

得m=1.

∴B点的横坐标为1，

∴当x=1时，

∴B(1，4)，

把A 代入 得,

解得：,

∴直线AB的解析式为

(3)当时，x的取值范围为 x≥1或x≤-1.