Question

如图，抛物线y＝ax²－(2a＋1)x＋b的图象经过(2，－1)和(－2，7)且与直线y＝kx－2k－3相交于点P(m，2m－7)

(1) 求抛物线的解析式

(2) 求直线y＝kx－2k－3与抛物线y＝ax²－(2a＋1)x＋b的对称轴的交点Q的坐标

(3) 在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由

Answer

见解析

【解析】分析：（1）根据抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），求得a，b的值即可得到抛物线的解析式；

（2）先根据抛物线的图象经过点P（m，2m﹣7），求得点P的坐标，再根据直线y=kx﹣2k﹣3经过点P，求得k的值，最后根据抛物线的对称轴为直线x=2，求得点Q的坐标；

（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，分三种情况讨论：∠PTQ=90°时，∠PQT=90°时，∠QPT=90°时，分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可．

详【解析】
（1）∵抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+b的图象经过（2，﹣1）和（﹣2，7），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1；

(2) ∵抛物线的图象经过点P(m，2m－7)

∴2m－7＝m2－2m＋1，解得m1＝m2＝4

∴P(4，1)

∵直线y＝kx－2k－3经过点P

∴4k－2k－3＝1，k＝2

∴直线PQ的解析式为y＝2x－7

∵

∴抛物线的对称轴为直线x＝2

当x＝2时，y＝2×2－7＝－3

∴Q(2，－3)

(3) 若△PQT的一边中线等于该边的一半

则△PQT为直角三角形

设T(0，t)

过点P作PA⊥y轴于A，交直线x＝2于点C，过点Q作QB⊥y轴于B

则AT＝|1－t|，BT＝|－3－t|

∵PA＝4，QB＝2，PC＝2，CQ＝4

∴PQ＝

① 当∠PTQ＝90°时

∵PQ2＝TQ2＋TP2＝BT2＋QB2＋PA2＋AT2＝(－3－t)2＋22＋(1－t)2＋42＝20

∴2t2＋4t＋10＝0，方程无解

② 当∠PQT＝90°时，PQ2＋QT2＝PT2

∴20＋22＋(－3－t)2＝42＋(1－t)2，解得t＝－2

③ 当∠QPT＝90°时，TQ＝PT＋PQ

∴4＋(－3－t)2＝16＋(1－t)2＋20，解得t＝3.